% Exercices d'initiation à TeX
\input carnot.mac
\centerline{\bf Exercices d'initiation à \TeX}\sv

{\it Composez les formules suivantes en \TeX. Vous pouvez utiliser les
commandes de base de \TeX, celles du fichier {\tt carnot.mac}, ou
définir les vôtres \dots}
\sv

\lineskiplimit=2mm\lineskip=2mm

{\marge{Dérivées : }
   $(f\circ g)'(x) = g'(x)\times f'(g(x))$,\par
   $\Delta f = \dd2 fxx + \dd2 fyy$.
\sv}

Formule de Taylor :
  $f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \dfrac{h^2}2f''(a) + \dots
   + \dfrac{h^n}{n!}f^{(n)}(a) + \o_{h\to0}(h^n)$.
\sv

Limites :
  $\dlim_{x\to0} \dfrac{\sin x}x = 1$,
  $x^xe^{-x} \--x\to+\infty-> +\infty$.
\sv

{\marge{Racines : }
   $\sqrt{a+\sqrt b} \times \sqrt{a-\sqrt b} = \sqrt{a^2-b\vphantom{\sqrt b}}$,

   $\rac n{n!} \eqv_{n\to\infty} \dfrac ne$.
\sv}

Vecteurs :
   $\vct{AB} + \vct{BC} = \vct{AC}$.
\sv

{\marge{Intégrales : }
   $\hat f(x) = \dint_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-ixt}\,\d t
    \=> f(t) = \dint_{-\infty}^{+\infty} \hat f(x)e^{ixt}\,\d x$.

   $\dint_0^\pi x\sin x\,\d x
      = \underbrace{\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^\pi}_{=\pi}
      + \underbrace{\dint_0^\pi \cos x\,\d x}_{=0} = \pi$.

   $\Dint2_D     f(x,y)\,\d x\,\d y =
    \Dint2_{D'}  f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,\d\rho\,\d\theta$.
\sv}

{\marge{Sommes : }
   $(a+b)^n = \dsum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n-k}
            = \dsum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}$,\par
   $(a+b+c)^n = \dsum_{\alpha+\beta+\gamma=n}
                \dfrac{n!}{\alpha!\,\beta!\,\gamma!\,}\, a^\alpha b^\beta c^\gamma$.\par
   $\dsum\Sb{i=0\cr i\text{ impair}}^n\hskip-2mm i =
    \dsum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (2k+1) = \Bigl[\dfrac{n+1}2\Bigr]^2$.
\sv}

{\marge{Définition par cas : }
  $f(x) = \cases{ x &si $x\in \Q$\cr
                  \bigl|\ln|x|\bigr| &si $x\in \R\setminus \Q$,\cr }$

  $g(x,y) = \cases{ \dfrac{x^2y^2(x^2-y^2)}{x^2+y^2} &si $(x,y)\ne (0,0)$\cr
                    0 &si $(x,y) = (0,0)$.\cr}$

  $\appmult f {\R\cup\{\infty\}} {\R\cup\{\infty\}}
            { x\in\R^* &\dfrac1x \cr
              0        &\infty   \cr
              \infty   &0.       \cr}$
\sv}
Texte dans une formule :
  $E = \{$matrices $M \in \M n\R$ antisymétriques tq $M^2 = I\}$.
\vfil\eject

{\marge{Matrices : }
  $P_M(x) = \vmatrix{a_{11}-x &a_{12}   &\dots   &a_{1n}   \cr
                     a_{21}   &a_{22}-x &        &\vdots   \cr
                     \vdots   &         &\ddots  &\vdots   \cr
                     a_{n1}   &\dots    &\dots   &a_{nn}-x \cr}$,

  $M = \pmatrix{ \cadrefin \w=14mm\h=6.5mm\d=4.5mm{$A$}  &
                 \hskip-8pt\matrix{0\cr\vdots\cr0\cr}    \cr
                 \matrix{0&\dots&0\cr}                   &
                 \hskip-8pt 1                            \cr}$.

  $\text{Res}(P,Q) = \vmatrix{
   a_0    &       &       &(0)    &b_0    &       &(0)     \cr
   \vdots &a_0    &       &       &b_1    &\ddots &        \cr
   \vdots &\vdots &\ddots &       &\vdots &\ddots &b_0     \cr
   a_p    &\vdots &\ddots &a_0    &\vdots &\vdots &b_1     \cr
          &a_p    &\ddots &\vdots &b_q    &\vdots &\vdots  \cr
          &       &\ddots &\vdots &       &\ddots &\vdots  \cr
   (0)    &       &       &a_p    &(0)    &       &b_q     \cr}
   = a_p^qb_q^p\dprod_{k=1}^p\dprod_{\ell=1}^q(\beta_\ell-\alpha_k)$.
\sv}

Calculs en cascade :
  $$\eqalign{
    \left(\dint_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\d x\right)^2
   &=\dint_{-\infty}^{+\infty}\dint_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2+y^2}\,\d y\,\d x \cr
   &=\dint_0^{2\pi}\dint_0^{+\infty} e^{-r^2}\,\d r\,\d\theta \cr
   &=\dint_0^{2\pi}\Bigl[-\frac12 e^{-r^2}\Bigr]_0^{+\infty}\,\d\theta \cr
   &=\dint_0^{2\pi}\dfrac{\d\theta}2 \cr
   &=\pi.\cr}$$

\bye
