Nombres réels |
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Depuis George Cantor, tous les nombres réels Sont suites de Cauchy à nombres rationnels. Chez Richard Dedekind, on parle de coupure. On peut aller plus loin en termes de structure : Coalgèbre finale en un endofoncteur, Dans les catégories, déclare un connaisseur. D'après Alfred Tarski, avec ses huit axiomes, Ce seraient des réels les plus petits atomes. Mais regardons plutôt leur aspect décimal Qu'on considère moins, mais pourtant pas si mal. Dans les opérations, surgit la retenue, Venant de l'infini, elle est une inconnue. Un axiome magique, admis pour nous aider, Unique postulat qu'on va se concéder, Principe limité, muni de l'omniscience, LPO en anglais, fournit cette voyance1 Mais une telle vue nous fait son numéro : L'infinité de 9 retombe sur zéro. Quand un nombre réel se finit de la sorte, Il a deux notations et cela nous importe. Le nombre trente-six, virgule, que des 9, Équivaut trente-sept, le sujet n'est pas neuf2 On devra définir l'égalité correcte, C'est quelquefois gênant, mais il faut qu'on l'accepte. Nous avons jusqu'ici compté en décimal, Mais prendre une autre base est aussi optimal. Elle vaut au moins deux - pour le cas du binaire - Nous la paramétrons dans la preuve ordinaire. Une suite où le chiffre est ainsi limité Permet de recouvrir l'intervalle unité. Les deux opérations s'énoncent sans obstacle Avec un LPO défini comme oracle. La somme ou le produit dans cet étrange objet Se calcule en deux temps, et non pas d'un seul jet. Car la suite s'incarne en série repensée Où x est remplacé par la base inversée. Ce sont sur les séries que notre opération S'applique au premier temps de cette itération La retenue du nombre ensuite se propage Grâce à notre LPO, par un simple codage. Mathématiquement, la retenue en i S'effectue par le biais d'un calcul infini Et notre résultat est sa partie entière. Il faut se limiter, donner une frontière Car on ne peut prouver sur un terme sans fin. On fait alors agir notre axiome devin Qui nous dit : « là c'est bon, le reste est négligeable » Et le calcul total est donc envisageable. Entrons dans les détails : dans notre logiciel, La suite, après le i, se voit comme un réel. Rappelons qu'il n'est pas dans sa forme normale Car issu du calcul de l'étape initiale. C'est sa partie entière, ici, notre objectif : Ce qu'il vaut strictement n'est pas très instructif. On peut se contenter d'une somme partielle Si la partie restante est très peu substantielle. Il nous faut démontrer que cela forme un corps, Mais ce n'est pas gagné, je le dis sans remords. Commutativité : tout coule sans problème ; Associer en revanche, il n'en va pas de même. Déjà notre addition plonge dans l'infernal, C'est dû au 9-9-9 qui se combine mal. Les preuves de produit, celles de complétude Et de l'archimédien sont encore à l'étude. |
Daniel de Rauglaudre (2019) |
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1 Axiome LPO : ∀ u (∀ i ui = 0) ∨ (∃ i
ui ≠ 0) 2 Théorème 0,999...=1. Nombreuses preuves, dont : (1) 0,999...=3x0,333...=3x1/3=1, (2) 1-0,999...=0, (3) 0,999...=Σi∈ℕ*9/10i=1, etc. |